Los Irracionales

Aunque pueda parecer el nombre de una peña, los Irracionales es un conjunto numérico que engloba aquellos números que tienen infinitos decimales no periódicos. Por ejemplo Pi, o raíz de dos.

¿Se puede afirmar que raíz de dos no tiene periodo en sus decimales, sin necesidad de calcularlos todos (o al menos muchos)? Sí. En este enlace tienes una demostración matemática de que raíz de dos es irracional.

Estos número dieron no pocos quebraderos de cabeza a los Pitagóricos, que creían (y deseaban) que todo el universo se podía explicar a partir de los números Racionales (cocientes de enteros). Pero descubrieron que existían los Irracionales (a los que llamaron Inconmensurables).

Teodoro de Cirene (465 a. C. - 398 a. C.), discípulo de Pitágoras, ideó una manera de representar segmentos cuya longitud es la raíz cuadrada de los número naturales, es decir, representó números irracionales. Al dibujarlos, los segmentos forman lo que llamamos la Espiral de Teodoro:

No es realmente una espiral porque no es una curva, pero se le parece. La figura está formada por una serie de triángulos rectángulos en los que un cateto mide 1u, el otro mide la raíz anterior y cuya hipotenusa es la nueva raíz.
Esta animación te muestra su construcción:


¿Te animas a dibujarla? Con un poco de imaginación se pueden decorar, como hicieron los alumnos del IES Salvador Victoria en estos trabajos (pincha sobre la imagen para verlos todos):

El curso pasado, con motivo del Día Internacional de las Matemáticas, los alumnos de 4ºESO trazaron una Espiral de Teodoro junto a la exposición "Nuestr@s Matemátic@s":

Por cierto, el artículo El infinito y más acá de Claudi Alsina, en el blog divulgativo El juego de la Ciencia del diario El País, ofrece una explicación clara y accesible de la demostración de que la raíz cuadrada de 2 no se puede poner como una fraccción. ¿Te atrves con ella?